Какими должны быть стороны прямоугольника с площадью 144 см^2, что бы его периметр приобретал наименьшего значения

Вопрос:
Какими должны быть стороны прямоугольника с площадью 144 см^2, что бы его периметр приобретал наименьшего значения

Ответ:

Введем переменную. Пусть одна из сторон прямоугольника будет равна х.

>>>

Вторую сторону выразим через площадь прямоугольника: 144/х.

>>>

Выразим периметр прямоугольника со сторонами х и 144/х:

>>>

Р = (х + 144/х) * 2 = 2х + 288/х.

>>>

Получили функцию f(x) = 2х + 288/х. Найдем минимумы и максимумы этой функции через производную.

>>>

f'(х) = 2 - 288/х².

>>>

Найдем нули производной:

>>>

2 - 288/х² = 0.

>>>

(2х² - 288)/х² = 0.

>>>

ОДЗ: х² не равен 0, х не равен 0.

>>>

2х² - 288 = 0.

>>>

2х² = 288.

>>>

x² = 144.

>>>

х = 12 и х = -12.

>>>

Отмечаем на прямой обе точки, определяем знаки производной на каждом промежутке.

>>>

(+) -12 (-) 12 (+).

>>>

(-∞; -12) функция возрастает,

>>>

(-12; 12) функция убывает,

>>>

(12; +∞) функция возрастает.

>>>

Следовательно, точкой минимума будет х = 12 (см).

>>>

Вторая сторона равна 144/12 = 12 (см).

>>>

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 12 см и 12 см.


Автор: Вдовин Леонид
Поиск другого вопроса:

Комментарии:


Добавить свой комментарий: